Cálculo mental

Corrigiendo exámenes de potencias se me ocurre el siguiente juego:

Con los números 2, 3 y 4, y usando solamente las operaciones aritméticas elementales (suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz de cualquier índice) hallar el número más grande que se puede formar y el más pequeño, ambos positivos.

Dilema del prisionero

Estoy leyendo un libro de William Poundstone titulado El dilema del prisionero. El dilema del prisionero es en realidad un juego entre dos personas en el cual a cada jugador se le plantea el mismo dilema. En ese dilema debe cooperar con el otro o bien traicionarlo, en la terminología se llama desertar, y no hay posibilidad de comunicación entre los participantes. El dilema se produce porque cooperar con el otro proporciona beneficio si el otro coopera también, sin embargo traicionar al otro jugador cuando él coopera proporciona todavía más beneficio. La tentación de traicionar es fuerte. Escribo un ejemplo que tomo del libro de Poundstone.

Has robado el diamante más grande del mundo y quieres venderlo porque no te interesa el diamante sino amasar una gran fortuna. Encuentras a un comprador, el señor X, vinculado a la mafia, que colecciona diamantes y otras piedras preciosas el cual te ofrece una suma enorme por el diamante; una suma tan grande que es seguro que ninguna otra persona la podría mejorar. Al contactar con él te ofrece un trato: reuniros los dos a solas, tú con el diamante y él con un maletín lleno de billetes (usados y no consecutivos) en un cierto campo de trigo. Entonces, una vez te haya enseñado el contenido del maletín y tú el diamante os intercambiaréis la mercancía.

Pero tú conoces un poco la trayectoria del Sr. X. Sabes que es inteligentísimo y que busca, al igual que tú, su propio beneficio. Sabes también que él ha hecho otros intercambios similares en los que, para demostrar su buena fe, abría su maletín y enseñaba el dinero. Acto seguido sacaba una ametralladora y se cepillaba al pobre iluso. Así que el Sr. X se llevaba el objeto y el dinero. Sabiendo que esto podría ocurrir no aceptas ese trato y se te ocurre éste:

No os reuniréis. Cada uno irá a un campo de trigo diferente separado por cientos de kilómetros (por ejemplo, tú a uno de Villarriba y él a uno de Villabajo) y allí esconderéis el diamante y el maletín con la pasta. Una vez estén escondidos os llamaréis y os indicaréis dónde está escondida la mercancía y el dinero; iréis allí y cogeréis lo que queréis: tú el dinero y el Sr. X la piedra. El Sr. X acepta. ¿Qué deberías hacer?

Si ambos cooperáis obtendréis lo que queréis; si ambos os traicionáis os quedáis como al principio. No perdéis nada. Si le traicionas y él decide cooperar te llevarás el diamante y el dinero. Por otro lado, cooperar cuando el Sr. X te traicione te hará quedar como un/a auténtico/a loser. Por lo tanto, para no perder, lo traicionarás. Pero los dos sois personas racionales y el Sr. X puede estar pensando exactamente lo mismo. Quizá sea lo mejor cooperar y obtener lo que cada uno quiere; él desea el diamante, lo quiere a toda costa; tú quieres el dinero, el diamante no te sirve de nada excepto para conseguir el dinero.

Esta no es la formulación original del dilema del prisionero pero es una que me gusta mucho. En la wikipedia puede leerse esa formulación.

Saludos

Alguien habrá por aquí que no esté de exámenes o de oposiciones. Para ellos, que tienen algo de tiempo libre (espero), va dedicado este juego/problema aunque cualquiera puede probar a ver qué tal.

Zoya y yo, la otra noche, celebramos una cena a la que invitamos a tres parejas más. Nos saludamos con un afectuoso apretón de mano pero, por supuesto, nadie saludó a su propia pareja ni se saludó a sí mismo (ni siquiera los matemáticos(!)). Una vez acabado el postre Zoya nos preguntó a todos cuántos saludos habíamos dado y cada uno de nosotros respondió un número distinto. ¿A cuántas personas ha saludado el Interino Garin?

Jinete

En ajedrez el caballo se mueve trazando una L, dos casillas en una dirección y una en la perpendicular. Es posible, en un tablero de ajedrez, que tiene 8×8 cuadrados, recorrer todas las casillas con un caballo sin repetir ninguna. Hay un montón de recorridos posibles, cómo mínimo 13 billones. Yo propongo uno, pero con pistas, que hace calor y no apetece pensar mucho...

Completa el recorrido del caballo por el tablero. Trata de moverlo en forma circular y lo más pegado a los bordes que puedas. Feliz viaje.

Números grandes

Nos falla la intuición con los números grandes, con los grandes de verdad. Seguro que todos hemos jugado contra alguien a decir el número más grande... En un momento dado, uno decía: «infinito»; y el otro: «infinito más uno». Ya está liado el problema: ¿eso qué es?

Pero no vengo a hablar del infinito, he venido a hablar de mi libro, digo... de los números grandes (recordemos que infinito no es un número). Te propongo un juego/reto, a ti, que te gusta, odias o te la sopla la matemática. Dibuja un segmento horizontal, más o menos así:

Ahora, pon en el extremo izquierdo el 0 y en el derecho el número un billón (no el billón americano, sino el que usamos en España). Vale, haz una marca (a ojo) en la parte del segmento en que crees que debe estar el número cien mil millones.

¿Ya? Sigue leyendo en el primer comentario.

Indulto por sombrero

En una cárcel, hay tres reclusos, A, B y C que han tenido buena conducta. El alcaide de la prisión quiere premiarlos con la libertad. Para ello, los reúne y les dice:

Aquí veis 5 sombreros, dos negros y tres blancos. Voy a elegir tres de ellos sin que sepáis cuáles escojo y se os pondrá en una habitaición aislada de manera que no podréis saber de qué color es vuestro sombrero. Luego os reuniré aquí y podréis ver solamente los sombreros de vuestros compañeros.

Yo voy a preguntar a cada uno, por orden, de qué color es el sombrero que lleva y él podrá responder un color pero ha de justificar la respuesta; no vale adivinar el color. Si no sabe de qué color es el sombrero deberá pasar y yo preguntaré al siguiente. Si alguien dice un color y no puede justificarlo volveréis a prisión. Si nadie dice nada, también volveréis a las celdas.

Únicamente si alguien consigue saber de qué color es su sombrero justificadamente quedaréis los tres en libertad.

El alcaide separó a los presos y le puso, para que no hubiera favoritismos, un sombrero blanco a cada uno. Luego los reunió y los presos miraron los sombreros de los otros y se pusieron nerviosos al ver que eran blancos. El alcaide preguntó al primer recluso, que tuvo que pasar. El recluso B tuvo que pasar también. El alcaide preguntó a C:

―¿De qué color es tu sombrero?

C, que era matemático, se quedó pensando mientras aumentaba la tensión. Después de unos minutos interminables dijo: Mi sombrero es blanco. Los otros presos abrieron los ojos (y la boca) y se quedaron mudos. Había acertado pero, ¿podría justificarlo? El alcaide dijo seriamente: Justifícalo. Y C dio un argumento razonado que probaba que su sombrero debía ser blanco. Por lo tanto, A, B y C quedaron libres.

¿Cómo podía saber C que su sombrero era blanco?

¡Feliz puente a todos!

Jeroglífico

Problema chorra pero jodido

Se trata de explicar cómo puede ocurrir esto. Las piezas arriba y abajo son idénticas (compruébalo) y podemos imaginar que son de madera. Las recolocamos como abajo y ¡vaya! aparece un hueco. Las áreas de los triángulos deberían ser las mismas... ¿qué ha pasado?

Este problema se lo puse a los alumnos de 2º de ESO. Por lo menos tuvieron el detalle (inesperado por mi parte) de leerlo y pensarlo un poco (más de 10 minutos!!).